הצגת המקור של הדף "פונקציית סכום הריבועים"

ב[[תורת המספרים]], '''פונקציית סכום הריבועים''' היא [[פונקציה אריתמטית]], שסופרת את מספר ההצגות של [[מספר טבעי]] נתון ''n'' כסכום של ''k'' ריבועים, כאשר הצגות עם סדר מחוברים שונה או סימן הפוך של המספרים המועלים בריבוע נספרות כהצגות שונות, והיא מסומנת (''r''<sub>''k''</sub>(''n''.

==הגדרה==
ה[[פונקציה]] מוגדרת באופן הבא:

:<math>r_k(n) = |\{(a_1, a_2, \ldots, a_k) \in \mathbb{Z}^k \ : \ n = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_k^2\}|</math>

כאשר <math>|\,\ |</math> מסמל את הגודל של ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]. במילים אחרות, (''r''<sub>''k''</sub>(''n'' הוא מספר הדרכים שבהן ''n'' ניתן לכתיבה כסכום של ''k'' ריבועים.

לדוגמה, <math>r_2(1) = 4</math> מכיוון ש-<math>1 = 0^2 + (\pm 1)^2 = (\pm 1)^2 + 0^2</math>, ו-<math>r_2(2) = 4</math> מכיוון ש-<math> 2 = (\pm 1)^2 + (\pm 1)^2</math> (יש ארבעה צירופי סימנים). כדוגמה נוספת - <math>r_2(3) = 0</math>, שכן אין דרך להציג את 3 כסכום של שני ריבועים.

== תוצאות ידועות ==
=== ''k'' = 2 ===
{{ערך מורחב|סכום של שני ריבועים}}
את מספר הדרכים לכתוב מספר טבעי כסכום של שני ריבועים סופרת הפונקציה (''r''<sub>2</sub>(''n''. יש לה נוסחה מפורשת:

:<math>r_2(n) = 4(d_1(n)-d_3(n))</math>

כאשר (''d''<sub>1</sub>(''n'' הוא מספר ה[[מחלק]]ים של ''n'' המשאירים שארית 1 בחלוקה ב-4 ו- (''d''<sub>3</sub>(''n'' הוא מספר המחלקים של ''n'' המשאירים שארית 3 בחלוקה ב-4. באמצעות סימן הסכימה, הביטוי הזה ניתן לכתיבה גם כ-:

:<math>r_2(n) = 4\sum_{d \mid n \atop d\,\equiv\,1,3 \pmod 4}(-1)^{(d-1)/2}</math>

[[פירוק לגורמים]] [[מספר ראשוני|ראשוניים]] <math>n = 2^g p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots q_1^{h_1}q_2^{h_2}\cdots </math>, כאשר <math>p_i</math> הם הגורמים הראשוניים מהצורה <math>p_i \equiv 1\pmod 4</math>, ו-<math>q_i</math> הם הגורמים הראשוניים מהצורה <math>q_i \equiv 3\pmod 4</math>, מניב נוסחה שקולה נוספת:

:<math>r_2(n) = 4 (f_1 +1)(f_2+1)\cdots </math>

התקפה אם '''כל''' המעריכים <math>h_1, h_2, \cdots</math> הם זוגיים. אם אחד או יותר מהמעריכים הללו הוא אי-זוגי, אז <math>r_2(n) = 0</math>.

=== ''k'' = 3 ===
[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] הוכיח שעבור מספר ללא גורמים ריבועיים ''n'' > 4:

<math>r_3(n) = \begin{cases}
24 h(-n), & \text{if } n\equiv 3\pmod{8}, \\
0 & \text{if } n\equiv 7\pmod{8}, \\
12 h(-4n) & \text{otherwise},
\end{cases}</math>

כאשר (''h''(''m'' מסמל את מספר המחלקות (class number) של [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות בינאריות]] מ[[דיסקרימיננטה]] ''m''.

=== ''k'' = 4 ===
{{ערך מורחב|משפט ארבעת הריבועים של יעקובי}}
מספר הדרכים להציג את ''n'' כסכום של ארבעה ריבועים תמיד חיובי (בהתאם ל[[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז']]), והוא מחושב בהתאם לנוסחה המפורשת של [[קרל גוסטב יעקב יעקובי]], לפיה הוא שווה לשמונה פעמים סכום כל המחלקים של ''n'' שאינם מתחלקים ב-4, כלומר:

:<math>r_4(n)=8\sum_{d\,\mid\,n,\ 4\,\nmid\,d}d.</math>

אם מפרקים את ''m'' לגורם זוגי וגורם אי-זוגי, כלומר כותבים אותו בצורה ''n'' {{=}} 2<sup>''k''</sup>''m'', כאשר ''m'' מספר אי-זוגי, אז ניתן להציג את <math>r_4(n)</math> במונחי [[פונקציית מחלקים|פונקציית סכום המחלקים]] באופן הבא:

:<math>r_4(n) = 8\sigma(2^{\min\{k,1\}}m).</math>

===''k'' = 8 ===
יעקובי מצא גם נוסחה מפורשת עבור המקרה ''k'' = 8:

:<math>r_8(n) = 16\sum_{d\,\mid\,n}(-1)^{n+d}d^3.</math>

== פונקציה יוצרת ==
ה[[פונקציה יוצרת|פונקציה היוצרת]] של הסדרה <math>r_k(n)</math> בעבור ''k'' קבוע ניתנת לביטוי במונחי [[פונקציית תטא|פונקציית תטא של יעקובי]]:

:<math>\vartheta(0;q)^k = \vartheta_3^k(q) = \sum_{n=0}^{\infty}r_k(n)q^n,</math>

כאשר

:<math>\vartheta(0;q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2} = 1 + 2q + 2q^4 + 2q^9 + 2q^{16} + \cdots.</math>
== ערכים מספריים ==
30 הערכים הראשונים של <math>r_k(n), \; k=1, \dots, 8</math> נתונים בטבלה למטה:

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
! ''n'' !! = !! ''r''<sub>1</sub>(''n'')!! ''r''<sub>2</sub>(''n'')!! ''r''<sub>3</sub>(''n'')!! ''r''<sub>4</sub>(''n'')!! ''r''<sub>5</sub>(''n'')!! ''r''<sub>6</sub>(''n'')!! ''r''<sub>7</sub>(''n'')!! ''r''<sub>8</sub>(''n'')
|-
| 0||style='text-align:center;'| 0|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1
|-
| 1||style='text-align:center;'| 1|| 2|| 4|| 6|| 8|| 10|| 12|| 14|| 16
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 2||style='text-align:center;'| 2|| 0|| 4|| 12|| 24|| 40|| 60|| 84|| 112
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 3||style='text-align:center;'| 3|| 0|| 0|| 8|| 32|| 80|| 160|| 280|| 448
|-
| 4||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>|| 2|| 4|| 6|| 24|| 90|| 252|| 574|| 1136
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 5||style='text-align:center;'| 5|| 0|| 8|| 24|| 48|| 112|| 312|| 840|| 2016
|-
| 6||style='text-align:center;'| 2×3|| 0|| 0|| 24|| 96|| 240|| 544|| 1288|| 3136
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 7||style='text-align:center;'| 7|| 0|| 0|| 0|| 64|| 320|| 960|| 2368|| 5504
|-
| 8||style='text-align:center;'| 2<sup>3</sup>|| 0|| 4|| 12|| 24|| 200|| 1020|| 3444|| 9328
|-
| 9||style='text-align:center;'| 3<sup>2</sup>|| 2|| 4|| 30|| 104|| 250|| 876|| 3542|| 12112
|-
| 10||style='text-align:center;'| 2×5|| 0|| 8|| 24|| 144|| 560|| 1560|| 4424|| 14112
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 11||style='text-align:center;'| 11|| 0|| 0|| 24|| 96|| 560|| 2400|| 7560|| 21312
|-
| 12||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>×3|| 0|| 0|| 8|| 96|| 400|| 2080|| 9240|| 31808
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 13||style='text-align:center;'| 13|| 0|| 8|| 24|| 112|| 560|| 2040|| 8456|| 35168
|-
| 14||style='text-align:center;'| 2×7|| 0|| 0|| 48|| 192|| 800|| 3264|| 11088|| 38528
|-
| 15||style='text-align:center;'| 3×5|| 0|| 0|| 0|| 192|| 960|| 4160|| 16576|| 56448
|-
| 16||style='text-align:center;'| 2<sup>4</sup>|| 2|| 4|| 6|| 24|| 730|| 4092|| 18494|| 74864
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 17||style='text-align:center;'| 17|| 0|| 8|| 48|| 144|| 480|| 3480|| 17808|| 78624
|-
| 18||style='text-align:center;'| 2×3<sup>2</sup>|| 0|| 4|| 36|| 312|| 1240|| 4380|| 19740|| 84784
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 19||style='text-align:center;'| 19|| 0|| 0|| 24|| 160|| 1520|| 7200|| 27720|| 109760
|-
| 20||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>×5|| 0|| 8|| 24|| 144|| 752|| 6552|| 34440|| 143136
|-
| 21||style='text-align:center;'| 3×7|| 0|| 0|| 48|| 256|| 1120|| 4608|| 29456|| 154112
|-
| 22||style='text-align:center;'| 2×11|| 0|| 0|| 24|| 288|| 1840|| 8160|| 31304|| 149184
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 23||style='text-align:center;'| 23|| 0|| 0|| 0|| 192|| 1600|| 10560|| 49728|| 194688
|-
| 24||style='text-align:center;'| 2<sup>3</sup>×3|| 0|| 0|| 24|| 96|| 1200|| 8224|| 52808|| 261184
|-
| 25||style='text-align:center;'| 5<sup>2</sup>|| 2|| 12|| 30|| 248|| 1210|| 7812|| 43414|| 252016
|-
| 26||style='text-align:center;'| 2×13|| 0|| 8|| 72|| 336|| 2000|| 10200|| 52248|| 246176
|-
| 27||style='text-align:center;'| 3<sup>3</sup>|| 0|| 0|| 32|| 320|| 2240|| 13120|| 68320|| 327040
|-
| 28||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>×7|| 0|| 0|| 0|| 192|| 1600|| 12480|| 74048|| 390784
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 29||style='text-align:center;'| 29|| 0|| 8|| 72|| 240|| 1680|| 10104|| 68376|| 390240
|-
| 30||style='text-align:center;'| 2×3×5|| 0|| 0|| 48|| 576|| 2720|| 14144|| 71120|| 395136
|}

==קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
*{{MathWorld|SumofSquaresFunction|Sum of Squares Function}}

[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:פונקציות אריתמטיות]]