הצגת המקור של הדף "עקרון המקסימום (תורת הפוטנציאל)"

ב[[מתמטיקה]], במיוחד ב[[תורת הפוטנציאל]], '''עקרון המקסימום''' הוא תכונה של [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|משוואות דיפרנציאליות חלקיות]] מסוימות, ספציפית מהטיפוס האליפטי והפרבולי. באופן כללי, העיקרון טוען כי ה[[מקסימום]] של פונקציית הפתרון ב[[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה|תחום]] נתון מושג תמיד על השפה של התחום. באופן ספציפי יותר, עקרון המקסימום ''החזק'' גורס כי אם המקסימום של פונקציה מושג בפנים התחום, אז היא חייבת להיות קבועה בתחום. עקרון המקסימום ''החלש'' טוען, לעומת זאת, שאמנם ערך המקסימום חייב להימצא על שפת התחום, אך הוא עשוי להופיע מחדש בפנים התחום פעמים נוספות.

המשפט הוא במובן מסוים מסקנה מ[[משפט הערך הממוצע של גאוס]].

לעקרון יש השלכות פיזיקליות מעניינות, שכן [[פוטנציאל חשמלי|הפוטנציאל החשמלי]] בריק מקיים את משוואת לפלס, ולכן נובע ממנו כי לא ניתן ללכוד חלקיק [[מטען חשמלי|טעון]] ב[[בור פוטנציאל|שיווי משקל יציב]] על ידי שדות [[אלקטרוסטטיקה|אלקטרוסטטיים]] (שדות נייחים), אם כי ניתן ללכוד אותו בריק באמצעות שדות אלקטרודינמיים (ראו גם [[מלכודת פאול]]).

== הדוגמה הקלאסית ==
[[פונקציה הרמונית|פונקציות הרמוניות]] הן דוגמה קלאסית לה עקרון המקסימום החזק תקף. באופן פורמלי, אם ''f'' היא פונקציה הרמונית, אז ''f'' לא יכולה להיות בעלת [[מקסימום מקומי]] מובהק בתוך [[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה]] שלה. במילים אחרות, או ש-f היא פונקציה קבועה, או שבעבור כל נקודה נתונה <math>x_0</math> בפנים התחום, קיימות נקודות אחרות הקרובות באופן שרירותי ל-<math>x_0</math> שהפונקציה ''f'' מקבלת בהן ערכים גדולים יותר:

תהי ''f'' פונקציה הרמונית המוגדרת על [[תת-קבוצה]] [[מרחב קשיר|קשירה]] [[קבוצה פתוחה|פתוחה]] ''D'' של [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] '''R'''<sup>''n''</sup>. אם <math>x_0</math> היא נקודה ב-''D'' כך ש-:

:<math>f(x_0)\ge f(x) </math>

בעבור כל הנקודות ''x'' ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבת הנקודה]] <math>x_0</math>, אז הפונקציה ''f'' היא קבועה על ''D''.

== היוריסטיקה לנכונות הטענה ==
[[קובץ:Maximum modulus principle.png|ממוזער|200px|הגרף של פונקציה הרמונית המוגדרת על עיגול היחידה עשוי להיראות למשל ככה. ניתן לראות שמשטח הפונקציה הוא "דמוי אוכף" בכל מקום.]]
''עקרון המקסימום החלש'' בעבור פונקציות הרמוניות הוא מסקנה פשוטה מן ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] הקשור בפתרון [[משוואת לפלס]]. המרכיב המרכזי בהוכחה הוא העובדה שלפי ההגדרה של פונקציות הרמוניות, ה[[לפלסיאן]] של ''f'' הוא אפס. לפיכך, עבור פונקציות המוגדרות על תחום [[מישור (גאומטריה)|מישור]]י, כל [[נקודה קריטית]] של ''f'' היא בהכרח [[נקודת אוכף]] (משטח קמור-קעור); אחרת לא ייתכן שסכום הנגזרות השניות של ''f'' יהיה אפס (שתי הנגזרות השניות חייבות להיות בעלות סימן מנוגד). עבור פונקציות המוגדרות על מרחב מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] גבוה יותר מקבלים שלפחות שתי נגזרות שניות (לפי שתי קואורדינטות שונות) הן בעלות סימן מנוגד.

''עקרון המקסימום החזק'' נשען על למת הופף, וההיוריסטיקה לו מסובכת יותר.
== ראו גם ==
* [[עקרון המקסימום]] ב[[אנליזה מרוכבת]]

[[קטגוריה:תורת הפוטנציאל]]
[[קטגוריה:פונקציות הרמוניות]]