הצגת המקור של הדף "על ספירלות"

{{להשלים|כל הערך = כן|נושא=ספרות|נושא2=מדעי הטבע}}
{{ספר}}
'''על ספירלות''' (ב[[יוונית]]: Περὶ ἑλίκων) הוא [[מסה (חיבור עיוני)|חיבור]] שנכתב על ידי [[ארכימדס]] בשנת [[225 לפנה"ס]]. החיבור מכיל 28 טענות על [[ספירלה|ספירלות]], ונכתב כמכתב לחברו דוסיתאוס. אף על פי שארכימדס לא גילה את ה[[ספירלת ארכימדס|ספירלה הארכימדית]], הוא נעזר בה בספרו כדי [[תרבוע העיגול|לרבע את העיגול]] ו[[שילוש זווית|לחלק זווית לשלושה חלקים שווים]]. על ספירלות מכיל גם את החישוב המוקדם ביותר של שטח החסום בספירלה; בעיה שבמינוח מודרני היא בעיית [[אינטגרציה (מתמטיקה)|אינטגרציה]] ב[[קואורדינטות קוטביות]] – ארכימדס הוכיח שהשטח התחום על ידי זרוע הספירלה לאחר שהשלימה סיבוב אחד שווה לשליש משטח המעגל החוסם את הספירלה.

==תכנים==
===הקדמה===
ארכימדס פותח את על ספירלות במסר לחברו דוסיתאוס מפלוסיום וכותב כי מותו של [[קונון מסאמוס]] הוא אבידה למתמטיקה. אז הוא מתחיל לסכם את התוצאות של ספריו הקודמים [[על הכדור והגליל]] (Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) ו[[על קונואידים וספרואידים]] (Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων). לאחר מכן הוא מתחיל לכתוב את תוצאותיו על ספירלות.

===הספירלה הארכימדית === 
[[קובץ:Archimedean spiral.svg|ממוזער|left|100px|הספירלה הארכימדית עם שלושה סיבובים של 360 מעלות על זרוע אחת.]]
[[ספירלת ארכימדס|הספירלה הארכימדית]] נחקרה לראשונה על ידי קונון ומאוחר יותר על ידי ארכימדס בעל הספירלות. ארכימדס היה מסוגל למצוא מגוון [[משיק]]ים לספירלה. הוא מגדיר את הספירלה כך:

{{ציטוט| אם קו ישר אשר נקודת קצה אחת שלו נותרת מקובעת במקומה מסובב בקצב אחיד במישור עד שהוא חוזר לתנוחה ממנו הוא התחיל להסתובב, ואם, באותו הזמן שהקו הישר מסתובב, נקודה נעה בקצב אחיד לאורך הקו הישר, ומתחילה מנקודת הקצה הקבועה, הנקודה תתאר ספירלה במישור.{{הערה|שם=History|{{Citation| last = Heath| first = Thomas Little|author-link=תומאס הית'| year = 1921| title = A History of Greek Mathematics| page=64| isbn = 0-543-96877-4| url = http://books.google.com/?id=zGIYbEtzD-QC&printsec=frontcover| accessdate = 2008-08-20| publisher = Adamant Media Corporation| location = Boston}}}}}}

===חלוקת זווית לשלושה חלקים שווים===
[[קובץ:Archimedes trisect spiral.svg|ממוזער|200px|דוגמה לאיך שארכימדס חילק זווית לשלושה חלקים שווים בעזרת ספירלה.]]
הבנייה שבה ארכימדס שילש את הזווית היא כדלקמן:

נניח שאנו רוצים לחלק את הזווית ABC לשלושה חלקים שווים. נחלק את הקטע BC לשלושה קטעים שווים כך ש-BD יהיה שליש מ-BC. כעת נצייר מעגל עם מרכז B ורדיוס BD. נניח שהמעגל עם המרכז B חותך את הספירלה בנקודה E. הזווית ABE היא שליש מזווית ABC.

===קשר בין ריבוע למעגל===
[[קובץ:Area of circle and triangle.svg|ממוזער|200px|left|המעגל והמשולש שווים בשטחם.]]
כדי ליצור ריבוע בעל שטח של מעגל נתון, ארכימדס מציג את הפיתוח הבא (המופיע ומוכח בטענה 19 בחיבורו):

תהי P הנקודה על הספירלה בה היא השלימה סיבוב אחד. נניח שהמשיק לספירלה בנקודה P חותך את האנך ל-OP {{כ}}(O מרכז הספירלה) בנקודה T.{{כ}} OT הוא האורך של ההיקף של מעגל עם רדיוס OP.

ארכימדס כבר הוכיח בטענה הראשונה בחיבורו [[על המדידה של המעגל|המדידה של המעגל]] שהשטח של מעגל שווה לשטח משולש ישר-זווית בעל ניצבים שאורכם הוא רדיוס המעגל והיקף המעגל. לכן השטח של המעגל עם רדיוס OP שווה לשטח של המשולש OPT. מכאן הדרך לבניית ריבוע השווה בשטחו לשטח משולש OPT נעשית באמצעות כלים [[אפלטון|אפלטוניים]] בלבד (כלומר [[בנייה בסרגל ובמחוגה]]) – בהינתן קטעים באורך X ו-1 (נניח ש-OP = 1) ניתן לבנות קטע באורך <math>\sqrt{X}</math> (נחבר בין הקטעים 1 ו-X, נבנה את המעגל שקוטרו הוא X+1, ונעלה מנקודת המפגש של הקטעים 1 ו-X אנך לקוטר שחותך את המעגל; משיקולי [[דמיון משולשים]] אורכו של האנך שנוצר הוא שורש X), ולאחר מכן ניתן לבנות על הקטע החדש כ[[יתר]] משולש ישר-זווית שווה-שוקיים וכך לקבל קטע באורך <math>\sqrt{X/2}</math> ולמעשה לקבל קטע באורך <math>\sqrt{\pi}</math> (ולאחר מכן לבנות עליו ריבוע).

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:ארכימדס]]
[[קטגוריה:ספרי מתמטיקה]]