הצגת המקור של הדף "נוסחת האברסין"

'''נוסחת האברסין''' קובעת את [[מרחק מעגל גדול|מרחק המעגל הגדול]] בין שתי נקודות על [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] בהינתן [[קו אורך|קווי האורך]] [[קו רוחב|והרוחב]] שלהן. לנוסחא הייתה חשיבות רבה ב[[ניווט]] ימי, והיא מהווה מקרה פרטי של נוסחה כללית יותר ב[[טריגונומטריה ספירית]], '''חוק האברסינים''', המקשר את הצלעות והזוויות של משולשים על פני הספירה.

הטבלה הראשונה של האברסינים בשפה האנגלית פורסמה על ידי ג'יימס אנדרו בשנת 1805.<ref name="Brummelen_2013">{{Cite book|last=van Brummelen|first=Glen Robert|url=https://books.google.com/books?id=0BCCz8Sx5wkC&pg=PR7|title=Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry|date=2013|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=9780691148922|id=0691148929|author-link=Glen Robert van Brummelen|access-date=2015-11-10}}</ref> חוסה דה מנדוזה אי ריוס{{אנ|José de Mendoza y Ríos}} פרסם טבלאות האברסינים קודם לכן, בשנת 1801.<ref name="Ríos_1795">{{Cite book|last=de Mendoza y Ríos|first=Joseph|url=https://books.google.com/books?id=030t0OqlX2AC|title=Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion|publisher=Imprenta Real|year=1795|location=Madrid, Spain|language=Spanish|author-link=José de Mendoza y Ríos}}</ref> המונח "האברסין" נטבע בשנת 1835 על ידי ג'יימס אינמן{{אנ|James Inman}}.<ref name="Inman_1835">{{cite book|last=Inman<!-- Rev. D.D. -->|first=James|url=https://books.google.com/books?id=-fUOnQEACAAJ|title=Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen|date=1835|publisher=W. Woodward, C. & J. Rivington|edition=3|location=London, UK|author-link=James Inman|access-date=2015-11-09|orig-year=1821}} (Fourth edition: {{צ-ספר|מו"ל=F. and J. Rivington|שם=Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen|שפה=en|שנת הוצאה=1849|קישור=https://books.google.com/books?id=MK8PAAAAYAAJ|מחבר=James Inman}}.)</ref>

שמות אלו נובעים מהעובדה שנהוג לכתוב את הנוסחאות במונחים של פונקציית האברסין, הנתונה על ידי <math> \operatorname{hav}\theta = \sin^2 (\theta /2 )</math>. באותה מידה ניתן היה לכתוב את הנוסחאות במונחי פונקציות טריגונומטריות אחרות. אך לפני הופעת המחשבים, פישוט זה הוכיח את עצמו מספיק נוח, כדי שטבלאות של ערכי ההאברסין ולוגריתמים נכללו בטקסטים של ניווט וטריגונומטריה של המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20.<ref>H. B. Goodwin, [https://books.google.com/books?id=KSNKAAAAYAAJ&lpg=PA735&pg=PA735 The haversine in nautical astronomy], ''Naval Institute Proceedings'', vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746</ref><ref>W. W. Sheppard and C. C. Soule, [https://books.google.com/books?id=8S0wAAAAYAAJ Practical navigation] (World Technical Institute: Jersey City, 1922).</ref>
[[קובץ:Illustration_of_great-circle_distance.svg|ממוזער| תרשים הממחיש מרחק מעגל גדול (מצויר באדום) בין שתי נקודות על כדור, P ו-Q. מוצגות גם שתי [[נקודות אנטיפודיות]], u ו-v.]]

== ניסוח ==
ה[[זווית מרכזית|זווית המרכזית]] {{נוסחה|''&theta;''}} בין שתי נקודות על הספירה מקיימת

: <math>\theta = \frac{d}{r}</math>

כאשר
* <math>d</math> הוא המרחק בין שתי הנקודות לאורך מעגל גדול של הספירה (ראה [[מרחק מעגל גדול]]),
* <math>r</math> הוא רדיוס הספירה.

נוסחת האברסין מאפשרת לחשב את ההאברסין של {{נוסחה|''&theta;''}} ישירות מקווי הרוחב (מיוצגים על ידי <math>\varphi</math>) וקווי האורך (מיוצגים על ידי <math>\lambda</math> ) של שתי הנקודות :

: <math>
 \operatorname{hav}\theta =
 \operatorname{hav}\left(\Delta \varphi \right) + \cos\left(\varphi_1\right)\cos\left(\varphi_2\right)\operatorname{hav}\left(\Delta \lambda \right)
</math>

כאשר
* {{נוסחה|''φ''<sub>1</sub>}}, {{נוסחה|''φ''<sub>2</sub>}} הם קוי הרוחב של נקודות 1 ו 2, בהתאמה.
* {{נוסחה|''λ''<sub>1</sub>}}, {{נוסחה|''λ''<sub>2</sub>}} הם קווי האורך של נקודות 1 ו 2, בהתאמה.
* <math>\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1</math>, <math>\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1</math>.

לבסוף, [[פונקציית האברסין]] {{נוסחה|hav(''&theta;'')}} לעיל, המופעלת הן על הזווית המרכזית <math>\theta</math> והן על ההפרשים של קווי הרוחב והאורך, היא

: <math>\operatorname{hav}\theta= \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2}</math>

כדי למצוא את המרחק <math>d</math>, יש להפעיל את הפונקציה archav, הפונקציה ההופכית ל {{נוסחה|hav(''&theta;'')}} או להשתמש בפונקציה ה[[פונקציות טריגונומטריות הפוכות|טריגונומטרית ההופכית]] arcsin:

: <math>d = r\operatorname{archav}(\operatorname{hav}\theta) = 2r\arcsin\left(\sqrt{\operatorname{hav}\theta}\right)</math>

או באופן מפורש יותר:<ref name="Gade2010">{{Cite journal|last=Gade|first=Kenneth|year=2010|title=A Non-singular Horizontal Position Representation|journal=Journal of Navigation|volume=63|issue=3|pages=395–417|bibcode=2010JNav...63..395G|doi=10.1017/S0373463309990415|issn=0373-4633}}</ref>

: <math>\begin{align}
 d &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\operatorname{hav}(\Delta \varphi ) + ( 1 - \operatorname{hav}(\Delta \varphi) - \operatorname{hav}(2 \varphi_\text{m} ))\cdot\operatorname{hav}(\Delta \lambda)}\right) \\
 &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{\Delta \varphi }{2}\right) + \left(1- \sin^2\left(\frac{\Delta \varphi }{2}\right) - \sin^2\left(\varphi_\text{m}\right)\right) \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta \lambda}{2}\right)}\right) \\
 &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{\Delta \varphi }{2}\right) + \cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta \lambda}{2}\right)}\right) \\
 &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{\Delta \varphi }{2}\right) \cdot \cos^2\left(\frac{\Delta \lambda}{2}\right) + \cos^2\left(\varphi_\text{m}\right) \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta \lambda}{2}\right)}\right) \\
 &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\frac{1 - \cos\left(\Delta \varphi \right) + \cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 \cdot \left(1 - \cos\left(\Delta \lambda\right)\right)}{2}}\right)
\end{align}</math>

כאשר <math>\varphi_\text{m} = \frac{\varphi_2 + \varphi_1}{2}</math> .

בעת שימוש בנוסחאות אלו, יש לוודא כי {{נוסחה|''h'' {{=}} hav(''&theta;'')}} אינו עולה על 1 עקב שגיאת [[נקודה צפה]] ( <math>d</math> הוא [[מספר ממשי|ממשי]] רק עבור {{נוסחה|0 ≤ ''h'' ≤ 1}} ). {{נוסחה|''h''}} שואף ל-1 עבור [[נקודות אנטיפודיות]], ובסביבה זו, עלולות להופיע שגיאות נומריות משמעותיות כאשר נעשה שימוש בחישוב בדיוק סופי. אולם מכיוון ש- <math>d</math> גדול (מתקרב ל {{נוסחה|π''R''}}, חצי מההיקף) השגיאה היחסית אינה גדולה במקרה יוצא דופן זה (אם כי יש נוסחאות אחרות ל[[מרחק מעגל גדול]] הנמנעות מבעיה זו). לעיתים משתמשים בנוסחה לעיל בפונקציה [[פונקציות טריגונומטריות הפוכות|ארקטנגנס]], אך גם היא סובלת מבעיות נומריות דומות ליד {{נוסחה|''h'' {{=}} 1}}.

כפי שמתואר להלן, ניתן לכתוב נוסחה דומה באמצעות [[טריגונומטריה ספירית#משפט הקוסינוסים|משפט הקוסינוסים]] של הגאומטריה הספירית (שאין להחליפו ב[[משפט הקוסינוסים|חוק הקוסינוסים]] של גאומטריית מישור) במקום האברסינים. אבל אם שתי הנקודות קרובות זו לזו (למשל במרחק של קילומטר זה מזה, על כדור הארץ) ייתכן שהתוצאה תהיה <math>\cos(d/R) = 0.99999999</math> מה שיוביל לתוצאה לא מדויקת. נוסחת האברסין אינה סובלת מבעיה זו מכיוון שהיא משתמשת בפונקציית הסינוס.

הנוסחאות לעיל הן מקורבות כאשר הן מיושמות על [[כדור הארץ]], שאינו כדור מושלם: רדיוס כדור הארץ, {{נוסחה|''R''}} משתנה מ-6356.752&nbsp;ק"מ בקטבים ל-6378.137&nbsp;ק"מ בקו המשווה. חשוב מכך, [[רדיוס עקמומיות|רדיוס העקמומיות]] של קו צפון-דרום על פני כדור הארץ בקטבים (≈6399.594&nbsp;ק"מ) גדול ב-1% מאשר בקו המשווה (≈6335.439&nbsp;ק"מ) - כך שלא ניתן להבטיח שנוסחת ההאברסין וחוק הקוסינוס יהיו מדויקים ברמה של 0.5%. שיטות מדויקות יותר המתחשבות באליפטיות של כדור הארץ ניתנות על ידי [[נוסחת וינסנטי|נוסחאות וינסנטי]].

== חוק האברסין ==
[[קובץ:Law-of-haversines.svg|שמאל|ממוזער| משולש כדורי שנפתר על ידי חוק האברסינים]]
בהינתן ספירת יחידה, "משולש" מוגדר על ידי שלושה [[מעגל גדול|המעגלים הגדולים]] המחברים שלוש נקודות {{נוסחה|''u''}}, {{נוסחה|''v''}} ו- {{נוסחה|''w''}} על הספירה. אם אורכי שלוש הצלעות הללו הם {{נוסחה|''a''}} (מ- {{נוסחה|''u''}} ל- {{נוסחה|''v''}} ), {{נוסחה|''b''}} (מ- {{נוסחה|''u''}} ל- {{נוסחה|''w''}} ), ו- {{נוסחה|''c''}} (מ- {{נוסחה|''v''}} ל- {{נוסחה|''w''}} ), והזווית שממול ל- {{נוסחה|''c''}} היא {{נוסחה|''C''}}, אזי חוק האברסין קובע:<ref name="Korn_2000">{{cite book |title=Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulas for reference and review |first1=Grandino Arthur |last1=Korn |first2=Theresa M.|author2-link= Theresa M. Korn |last2=Korn |edition=3rd<!-- (based on 1968 edition by McGrawHill, Inc.) --> |date=2000 |orig-year=1922 |publisher=[[Dover Publications]] |location=Mineola, New York |chapter=Appendix B: B9. Plane and Spherical Trigonometry: Formulas Expressed in Terms of the Haversine Function |pages=892–893 |isbn=978-0-486-41147-7}}</ref>

: <math>\operatorname{hav}(c) = \operatorname{hav}(a - b) + \sin(a)\sin(b)\operatorname{hav}(C).</math>

מכיוון שמדובר בספירת היחידה, האורכים {{נוסחה|''a''}}, {{נוסחה|''b''}}, ו- {{נוסחה|''c''}} שווים לזוויות ([[רדיאן|ברדיאנים]]) המשתרעות על ידי הצלעות הללו ממרכז הכדור (עבור כדור שאינו יחידה, כל אחד מאורכי הקשת הללו שווה [[זווית מרכזית|לזווית המרכזית]] שלו מוכפל ברדיוס {{נוסחה|''R''}} של הכדור).

על מנת לקבל מחוק זה את נוסחת האברסין של הסעיף הקודם, יש לקחת את המקרה הפרטי שבו {{נוסחה|''u''}} הוא [[הקוטב הצפוני]], בעוד {{נוסחה|''v''}} ו- {{נוסחה|''w''}} הן שתי הנקודות שביניהן יש לקבוע את המרחק <math>d</math> . במקרה כזה, {{נוסחה|''a''}} ו- {{נוסחה|''b''}} הם <math>\pi /2 - \varphi_{1,2}</math>, <math>C</math> הוא ההפרש של זוויות האורך <math>\lambda_2 - \lambda_1</math> ו c הוא המרחק המתאים לספירת היחידה, כלומר <math>\frac{d}{R}</math>. שימוש בזהות <math>\sin (\frac {\pi} {2} - \varphi) = \cos (\varphi)</math> נותן ישירות את נוסחת האברסין.

== הוכחה ==
ניתן להוכיח את הנוסחה

: <math>
 \operatorname{hav}\left(\theta\right) =
 \operatorname{hav}\left(\Delta \varphi \right) + \cos\left(\varphi_1\right)\cos\left(\varphi_2\right)\operatorname{hav}\left(\Delta \lambda\right)
</math>

על ידי המרת הנקודות הנתונות על ידי קו הרוחב והאורך שלהן [[מערכת צירים קרטזית|לקואורדינטות קרטזיות]], ואז לקחת את [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]] שלהן.

תהיינה <math>\bf p_1,p_2</math> שתי נקודות על ספירת היחידה, הנתונות על ידי קו הרוחב שלהם <math>\varphi</math> וקווי אורך <math>\lambda</math>: 
: <math>\begin{align}
{\bf p_1} &= (\lambda_1, \varphi_1)\\
{\bf p_2} &= (\lambda_2, \varphi_2)
\end{align}</math>

ייצוגים אלה דומים מאוד לייצוג ב[[קואורדינטות כדוריות]], אולם קו הרוחב <math>\varphi</math> נמדד כזווית מקו המשווה ולא מהקוטב הצפוני. הייצוג של הנקודות בקואורדינטות קרטזיות הוא: 

: <math>\begin{align}
{\bf p_1} &= (\cos(\lambda_1)\cos(\varphi_1), \;\sin(\lambda_1)\cos(\varphi_1), \;\sin(\varphi_1))\\
{\bf p_2} &= (\cos(\lambda_2)\cos(\varphi_2), \;\sin(\lambda_2)\cos(\varphi_2), \;\sin(\varphi_2))
\end{align}</math>

מכאן נוכל לנסות ישירות לחשב את המכפלה הסקלרית ולהמשיך, אולם ניתן לפשט את הנוסחאות אם לוקחים בחשבון את העובדה הבאה: המרחק בין שתי הנקודות לא ישתנה אם נסובב את הכדור לאורך ציר ה-Z. סיבוב כזה למעשה יוסיף קבוע ל <math>\lambda_1, \lambda_2</math> . ששיקול דומה אינו חל על קווי הרוחב - הוספת קבוע לשני קווי הרוחב עלולה לשנות את המרחק בין הנקודות. על ידי בחירת הקבוע שלנו להיות <math>-\lambda_1</math>, והגדרה <math>\lambda' = \Delta \lambda</math>, הנקודות החדשות שלנו הופכות ל:

: <math>\begin{align}

{\bf p_1'}	&= (\cos(0)\cos(\varphi_1), \;\sin(0)\cos(\varphi_1), \;\sin(\varphi_1)) \\
 &= (\cos(\varphi_1), \;0, \;\sin(\varphi_1))\\
{\bf p_2'}	&= (\cos(\lambda')\cos(\varphi_2), \;\sin(\lambda')\cos(\varphi_2), \;\sin(\varphi_2))
\end{align}</math>

אם <math>\theta</math> מציין את הזווית בין <math>{\bf p_1}</math> ו <math>{\bf p_2}</math>, מתקבל

: <math>\begin{align}
\cos(\theta) &= \langle{\bf p_1},{\bf p_2}\rangle = \langle{\bf p_1'},{\bf p_2'}\rangle = \cos(\lambda')\cos(\varphi_1)\cos(\varphi_2) + \sin(\varphi_1)\sin(\varphi_2) \\
 &= \sin(\varphi_2)\sin(\varphi_1) + \cos(\varphi_2)\cos(\varphi_1) - \cos(\varphi_2)\cos(\varphi_1) + \cos(\lambda')\cos(\varphi_2)\cos(\varphi_1) \\
 &= \cos(\Delta \varphi) + \cos(\varphi_2)\cos(\varphi_1)(-1 + \cos(\lambda')) \Rightarrow \\
\operatorname{hav}\left(\theta\right)
 &= \operatorname{hav}\left(\Delta \varphi \right) + \cos(\varphi_2)\cos(\varphi_1)\operatorname{hav}\left(\lambda' \right)
\end{align}
</math>

== ראו גם==
* [[נוסחאות וינסנטי]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים| יישור = שמאל}}

[[קטגוריה:טריגונומטריה]]
[[קטגוריה:גאומטריה לא אוקלידית]]
[[קטגוריה:משולש]]
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]