הצגת המקור של הדף "משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[תורת השדות]], '''משפט ארטין שרייר''' נותן [[תנאי הכרחי ומספיק]] לכך ש[[חבורת גלואה]] של [[הרחבת שדות|הרחבה]] סופית מעל שדה מ[[מציין של שדה|מציין]] <math>p</math> תהיה [[חבורה ציקלית|ציקלית]] מסדר <math>p</math>. בכך הוא מצטרף ל[[משפט קומר]] שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.

==המשפט==
תהי <math>L/K</math> הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר <math>\operatorname{char} K = p</math>. אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר <math>p</math> [[אם ורק אם]] <math>L = K(\alpha)</math> עבור <math>\alpha \in L \setminus K</math> המקיים <math>\alpha^p -\alpha \in K</math>.

==הוכחת המשפט==
'''כיוון אחד''': נניח <math>G = \operatorname{Gal}(L/K)</math> מעגלית מסדר <math>p</math>. יהי <math>\sigma</math> יוצר שלה. אז 
: <math>\operatorname{Tr}(-1) = -1 + \sigma(-1)... + \sigma^{p-1}(-1)= p \cdot (-1) = 0</math> 
ולכן מ[[משפט 90 של הילברט]], יש <math>\alpha \in L</math> כך ש-<math>\alpha - \sigma(\alpha) = -1</math>. מכאן <math>\sigma(\alpha) = \alpha + 1</math> ומכאן <math>\sigma^j(\alpha) = \alpha  + j</math>. אז <math>\alpha \notin K</math> כי <math>\sigma(\alpha) \ne \alpha</math>, וכיוון ש-<math>[K(\alpha):K]=p</math> אז <math>[K(\alpha):K]|p</math> ולכן
: <math>p = |G| = [L:K] = [L:K(\alpha)] \cdot [K(\alpha):K] = [L:K(\alpha)] \cdot p</math>
ובסך הכל <math>[L:K(\alpha)]=1</math> ולכן <math>L = K(\alpha)</math>. כמו כן לכל <math>j \in \mathbb{F}_p \subseteq K</math> מתקיים
: <math>\sigma^j(\alpha^p-\alpha)=\sigma^j(\alpha)^p-\sigma^j(\alpha)=(\alpha+j)^p-\alpha + j = \alpha^p - \alpha</math> 
ולכן <math>\alpha^p - \alpha</math> נמצא ב[[שדה שבת|שדה השבת]] <math>L^G = K</math>, כלומר: <math>\alpha^p - \alpha \in K</math>.


'''כיוון שני''': נניח <math>L = K(\alpha)</math>. נסמן <math>f = x^p - x - \alpha^p + \alpha</math>. אז לכל j מתקיים <math>f(\alpha + j) = (\alpha +j)^p-\alpha-j-\alpha^p+\alpha=j^p-j=0</math> לפי [[המשפט הקטן של פרמה]]. לכן <math>f</math> מתפצל ב-<math>L</math>. הוא גם [[פולינום ספרבילי]] כי הוא זר ל[[נגזרת פורמלית|נגזרת]] שלו (שהיא 1-) ולכן <math>L/K</math> [[הרחבת גלואה]]. כל איבר בה, <math>\sigma</math>, הוא K-[[אוטומורפיזם]] של <math>L</math> ולכן מעביר את <math>\alpha</math> לשורש כלשהו של <math>f</math>, <math>\alpha + j</math>. לכן אפשר להגדיר פונקציה <math>\omega: \operatorname{Gal}(L/K) \to \mathbb{F}_p</math> המקיימת <math>\sigma(\alpha) = \alpha+\omega(\sigma)</math>. כאן <math>\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \{ 0,1,...,p-1 \}</math> עם חיבור [[מודולו]] p. נראה ש-<math>\omega</math> הוא [[איזומורפיזם]] של חבורות: יהיו <math>\sigma, \tau \in \operatorname{Gal}(L/K)</math>. אז 
:<math>\omega(\sigma \tau) = (\sigma \tau)(\alpha) - \alpha = \sigma(\alpha + \omega(\tau)) - \alpha = \sigma(\alpha) + \omega(\tau)-\alpha = \omega(\sigma)+\omega(\tau)</math> 
ולכן <math>\omega</math> [[הומומורפיזם]]. תמונתו היא תת-חבורה של <math>\mathbb{F}_P</math>, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של <math>\omega</math> הוא <math>\{\sigma|\sigma(\alpha)=\alpha\}=\{\operatorname{Id}\}</math> לכן הוא [[איזומורפיזם]]. לכן החבורה מעגלית מסדר <math>p</math> כרצוי.

'''מ.ש.ל.'''

[[קטגוריה:תורת השדות]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה|ארטין-שרייר]]