הצגת המקור של הדף "מרחב לינדלף"

ב[[טופולוגיה]], '''מרחב לינדלף''' הוא [[מרחב טופולוגי]] שבו לכל [[כיסוי פתוח]] קיים [[תת-כיסוי]] [[בן-מנייה]]. זוהי גרסה חלשה של תכונת ה[[קומפקטיות]], הדורשת שלכל כיסוי פתוח יהיה תת-כיסוי סופי. המרחבים נקראים כך על שם המתמטיקאי הפיני [[ארנסט לאונרד לינדלף]].

[[הלמה של לינדלף]] קובעת שכל מרחב טופולוגי המקיים את [[אקסיומות המנייה|אקסיומת המנייה השנייה]] הוא מרחב לינדלף (אבל לא להפך). [[מרחב מטרי]] הוא מרחב לינדלף אם ורק אם הוא [[מרחב ספרבילי|ספרבילי]], אם ורק אם הוא מקיים את אקסיומת המנייה השנייה. לעומת זאת, קיים [[מרחב רגולרי]] לינדלף-תורשתית שאינו ספרבילי (Moore, 2006). (מרחב הוא '''לינדלף-תורשתית''' אם כל תת-קבוצה שלו היא לינדלף בטופולוגיה המושרית). 

כמה תכונות:

# [[קבוצה סגורה|תת-קבוצה סגורה]] של מרחב לינדלף היא מרחב לינדלף. {{ש}}'''הוכחה:''' יהיו <math>X</math> מרחב לינדלף ו-<math>V \subseteq X</math> תת-קבוצה סגורה. יהי <math>\mathcal{U} = \{U_\alpha\}_{\alpha \in A}</math> כיסוי פתוח של <math>V</math>, במובן ש-<math>V \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha</math>. נבחין שאז <math>\mathcal{U} \cup \{V^c\}</math> כיסוי פתוח של <math>X</math> (הקבוצה <math>V^c</math> פתוחה כי <math> V</math> סגורה). מכך ש-<math>X</math> לינדלף נובע שקיים תת-כיסוי בן מנייה <math>\mathcal{U'}</math>, ונוכל להבחין כי <math>\mathcal{U'} \setminus \{V^c\}</math> הוא תת-כיסוי בן מנייה של <math>\mathcal{U}</math>. לכן <math>V</math> לינדלף. <math>\blacksquare</math>
# [[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|רציפה]] של מרחב לינדלף היא לינדלף. {{ש}}'''הוכחה:''' יהיו <math>X,Y</math> מרחבים טופולוגיים כך ש-<math>X</math> לינדלף, ותהי <math>f \colon X \to Y</math> פונקציה רציפה. נטען ש-<math>f(X)</math> גם לינדלף. יהי <math>\mathcal{U}</math> כיסוי פתוח של <math>f(X)</math>. נבחין שאז <math>f^{-1}(\mathcal{U}) = \{f^{-1}(U) \mid U \in \mathcal{U}\}</math> מהווה כיסוי של <math>X</math>. זה אף כיסוי פתוח של <math>X</math>, שהרי כל <math>U \in \mathcal{U}</math> פתוחה ו-<math>f</math> רציפה. מכך ש-<math>X</math> לינדלף נסיק שקיים תת-כיסוי בן מנייה, כלומר שקיימות <math>U_1,U_2,\dots \in \mathcal{U}</math> כך ש-<math>X = \bigcup_{i=1}^\infty f^{-1}(U_i)</math>. מכיוון ש-<math>f</math> היא על <math>f(X)</math> נסיק כי <math>f(X) = \bigcup_{i=1}^\infty U_i</math>, ובכך מצאנו תת-כיסוי בן מנייה ל-<math>\mathcal{U}</math>, ולכן <math>f(X)</math> לינדלף. <math>\blacksquare</math>
# מכפלה של שני מרחבי לינדלף אינה בהכרח לינדלף. למשל, [[הישר של סורגנפריי]] <math>\mathbb{R}_\ell</math> הוא לינדלף (אף על פי שאיננו מרחב מנייה שנייה), אולם ניתן להראות שהמכפלה <math>\mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell</math> אינה לינדלף.

==לקריאה נוספת==
* {{פא"ר|מספר=501|שם הספר=טופולוגיה קבוצתית|כותב=ד"ר דניאלה ליבוביץ|שנה=1997 }}

[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים]]