הצגת המקור של הדף "מודל הדיסק של פואנקרה"

[[קובץ:Poincare_disc_hyperbolic_parallel_lines.svg|שמאל|ממוזער|300x300 פיקסלים| דיסק פואנקרה עם קווים מקבילים היפרבוליים]]

ב[[גאומטריה]], '''מודל הדיסק של פואנקרה''', הנקרא גם '''מודל הדיסק הקונפורמי''', הוא מודל של [[גאומטריה היפרבולית]] דו-ממדית שבו כל [[נקודה (גאומטריה)|הנקודות]] נמצאות בתוך [[דיסק יחידה|דיסק היחידה]] הפתוח, וקווים ישרים הם קשתות מעגליות הכלולות בתוך הדיסק שהן [[אורתוגונליות]] לדיסק היחידה, או [[קוטר|קטרים]] של [[מעגל היחידה]].

יחד עם [[מודל בלטרמי-קליין|מודל בלטראמי-קליין]] ו[[מודל חצי-המרחב של פואנקרה]], המודל הוצע לראשונה על ידי [[אאוג'ניו בלטראמי]] שהשתמש במודלים אלה כדי להראות שהגאומטריה ההיפרבולית עקבית יחד עם [[גאומטריה אוקלידית|הגאומטריה האוקלידית]] (כלומר, גאומטריה היפרבולית היא עקבית אם ורק אם [[גאומטריה אוקלידית|הגאומטריה האוקלידית]] עקבית). המודל נקרא על שמו של [[אנרי פואנקרה]], מכיוון שגילויו מחדש של הייצוג הזה ארבע עשרה שנים מאוחר יותר הפך להיות ידוע יותר מהיצירה המקורית של בלטראמי.<ref>{{Cite book|last=Penrose|first=Roger|url=https://archive.org/details/roadtoreality00penr_678|title=The Road To Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe|date=2004|publisher=Jonathan Cape|isbn=0-224-04447-8|location=Great Britain|page=[https://archive.org/details/roadtoreality00penr_678/page/n73 45]|url-access=limited}}</ref>

'''מודל הכדור של פואנקרה''' הוא המודל הדומה עבור גאומטריה היפרבולית ''בת n'' ממדים (3 ממדים או יותר), שבו נקודות הגאומטריה נמצאות ב[[כדור (גאומטריה)|כדור]] יחידה ''n-'' ממדי.

== היסטוריה ==
מודל הדיסק הוצג לראשונה על ידי [[ברנהרד רימן]] בהרצאה משנת 1854 (שפורסמה ב-1868), אשר שימשה השראה למאמר מ-1868 של בלטראמי.<ref>Milnor, John W. "Hyperbolic geometry: the first 150 years." Bulletin of the American Mathematical Society 6, no. 1 (1982): 9-24. </ref> המודל זכה לפרסום נרחב בעקבות הצגתו של פואנקרה את המודל בחיבורו הפילוסופי, "מדע והיפותזה" משנת 1905.<ref name=":0">{{Cite book|last=Poincaré|first=Henri|url=http://archive.org/details/scienceandhypoth00poinuoft|title=Science and hypothesis|date=1905|publisher=London W. Scott|others=Robarts - University of Toronto}}</ref> שם הוא מתאר עולם, הידוע כיום כדיסק פואנקרה, שבו המרחב היה אוקלידי, אבל נראה ליושביו כממלא את האקסיומות של הגאומטריה ההיפרבולית:

{{ציטוט|מירכאות=כן|נניח, למשל, עולם מוקף בכדור גדול וכפוף לחוקים הבאים: הטמפרטורה אינה אחידה; היא הגבוהה ביותר במרכז הכדור, ויורדת בהדרגה ככל שאנו מתקדמים לכיוון היקף הכדור, שם היא [[האפס המוחלט|אפס מוחלט]]. החוק של טמפרטורה זו הוא כדלקמן: אם <math>R</math> הוא הרדיוס של הכדור, ו <math>r</math> המרחק של נקודה כלשהי מהמרכז, הטמפרטורה המוחלטת תהיה פרופורציונלית ל <math>R^2 - r^2</math>...

אם הם בונים גאומטריה, היא לא תהיה כמו שלנו, שהיא חקר תנועות המוצקים הבלתי משתנים שלנו; היא תהיה המחקר של שינויי מיקום שהם יובדלו בכך, ויהיו 'תזוזות לא אוקלידיות', וזו תהיה גאומטריה לא אוקלידית. כך שליצורים כמונו, שהתחנכו בעולם כזה, לא תהיה אותה גאומטריה כמו שלנו."|מקור=<ref name=":1">{{Cite book|last=Poincaré|first=Henri|url=http://archive.org/details/scienceandhypoth00poinuoft|title=Science and hypothesis|date=1905|publisher=London W. Scott|others=Robarts - University of Toronto|pages=65-68}}</ref>}}

הדיסק של פואנקרה הווה עדות חשובה להשערה שהבחירה בגאומטריה מרחבית (כאשר הבחירה באותם זמנים הייתה הגאומטריה האוקלידית והיא בלבד), הינה קונבנציונלית ולא עובדתית. גישתו של פואנקרה הייתה בעלת חשיבות מרכזית בדיונים הפילוסופיים המשפיעים של [[רודולף קרנפ]]<ref>{{Cite book|last=Carus|first=A. W.|url=https://books.google.com/books?id=2CaeDwAAQBAJ|title=Rudolf Carnap: Early Writings: The Collected Works of Rudolf Carnap, Volume 1|last2=Friedman|first2=Michael|last3=Kienzler|first3=Wolfgang|last4=Richardson|first4=Alan|last5=Schlotter|first5=Sven|date=2019-06-25|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-106526-2|language=en}}</ref> ושל [[הנס רייכנבאך]].<ref>{{Cite book|last=Reichenbach|first=Hans|url=https://books.google.com/books?id=E_DDAgAAQBAJ|title=The Philosophy of Space and Time|date=2012-03-13|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-13803-9|language=en}}</ref>

== קווים ומרחק ==
[[קובץ:Droites_disquePoincare.svg|ממוזער| דיסק Poincaré עם 3 קווים ישרים [[גאומטריה היפרבולית|אולטרה-מקבילים]] (היפרבוליים).]]
'''קווים ישרים''' היפרבוליים, או גיאודזים, מורכבים מכל הקשתות של מעגלים אוקלידיים הכלולים בתוך הדיסק, שהם [[אורתוגונליות|אורתוגונלים]] לגבול הדיסק, בתוספת כל הקטרים של הדיסק.

המרחקים במודל זה הם מרחקי קיילי-קליין: בהינתן שתי נקודות נפרדות ''p'' ו-''q'' בתוך הדיסק, הקו ההיפרבולי הייחודי המחבר אותן חוצה את השפה בשתי נקודות אידיאליות, ''a'' ו-''b'' . נסדר אותן כך שהנקודות יהיו לפי הסדר, ''a'', ''p'', ''q'', ''b'', כלומר כך ש: <math>|aq| > |ap|, |pb| > |qb|</math> . המרחק ההיפרבולי בין ''p'' ל-''q'' הוא אז:<ref>{{Cite book|last=Berger|first=Marcel|title=Geometry II|publisher=Springer|year=1987|page=339|translator-last=Cole|translator-first=M.|chapter=9.6 The Poincaré Model|translator-last2=Levy|translator-first2=S.}}</ref>

<math display="block">
d(p,q)= \ln \frac{ \left| aq \right| \, \left| pb \right| }{ \left| ap \right| \, \left| qb \right| } .
</math>

הפסים האנכיים בנוסחה מציינים את האורך האוקלידי של קטע הקו המחבר את הנקודות ביניהן במודל (לא לאורך קשת המעגל); ln הוא [[לוגריתם טבעי|הלוגריתם הטבעי]].
==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:גאומטריה לא אוקלידית]]