הצגת המקור של הדף "דרגה של אלגברה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=דרגה של אלגברה|אחר=דרגה של [[מטריצה]]|ראו=[[דרגה (אלגברה ליניארית)]]}}
ב[[אלגברה מופשטת]], ה'''דרגה''' של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד סופי]] היא ה[[מעלה של פולינום|מעלה]] של '''פולינום מינימלי גנרי''' של לאלגברה. הדרגה חסומה על ידי מימד האלגברה, ושווה לה במקרים מסוימים; למשל, הדרגה של [[הרחבת שדות]] [[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]] שווה לממד. עם זאת, הדרגה יכולה להיות קטנה מהממד: הדרגה של אלגברת המטריצות <math>\ \operatorname{M}_n(F)</math> היא <math>\ n</math>. לכן הדרגה חסומה על ידי מימד ה[[הצגה ליניארית|הצגה הליניארית]] הקטנה ביותר של האלגברה. הדרגה אינה משתנה תחת [[הרחבת סקלרים]]. 

== הפולינום הגנרי ==

תהי A [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (אסוציאטיבית, או לכל הפחות [[אלגברה לא אסוציאטיבית]] שהיא [[אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות|בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט]]), מממד סופי מעל שדה F. נבחר [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיס]] <math>\ b_1,\dots,b_n</math>, ונתבונן באיבר <math>\ X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n</math> של האלגברה <math>\ A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n)</math> המתקבלת מ[[הרחבת סקלרים]] מ-F ל[[שדה פונקציות|שדה הפונקציות]] <math>\ F(x_1,\dots,x_n)</math>. במקרה כזה, קיים [[פולינום מינימלי]] מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא '''הפולינום המינימלי הגנרי''' של A. הדרגה שווה למעלה של P.

לדוגמה, הדרגה של אלגברת המטריצות <math>\ M_m(F)</math> היא m; וזו גם הדרגה של כל [[אלגברה פשוטה]] מממד <math>\ m^2</math> מעל למרכז שלה. אם <math>\ A_1,A_2</math> הן אלגברות מעל אותו שדה, אז דרגת ה[[סכום ישר|סכום הישר]] שלהן היא הדרגה הגדולה מבין השתיים. 

אלגברות (אפילו שאינן אסוציאטיביות) מדרגה 2 נקראות [[אלגברה ריבועית|אלגברות ריבועיות]]. 

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אלגברה]]