הצגת המקור של הדף "אלגברת ז'ורדן ריבועית"

ב[[מתמטיקה]], '''אלגברת ז'ורדן ריבועית''' היא מבנה אלגברי, המכליל את [[אלגברת ז'ורדן]]. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.

== הגדרה ==
יהי k [[חוג קומוטטיבי]]. '''אלגברת ז'ורדן ריבועית''' מעל k היא [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] J, עם העתקה <math>U {\,:\,} J \rightarrow \operatorname{End}_k(J)</math> (שמסמנים <math>\,U_x = U(x)</math>) ואיבר מיוחד <math>1\in J</math>, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J. ראשית, U היא '''העתקה ריבועית'''; כלומר, <math>\,U_{\alpha x} = \alpha^2 U_x</math>, ו-<math>\,U_{x,y} = U_{x+y}-U_x-U_y</math> היא תבנית ביליניארית; שנית, <math>\,U_1 = {\bf{1}}</math>; ושלישית, מתקיימות '''הזהות היסודית''' <math>\,U_{U_xy} = U_xU_yU_x</math>, והזהות <math>\,U_xV_{y,x} = V_{x,y}U_x</math> כאשר <math>\,V_{x,y}z = U_{x,z}y</math>.

באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים <math>\,\{xyz\} = U_{x,z}y</math>; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה <math>\,x \circ y = \{x1y\} = \{xy1\} = \{1xy\}</math> היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית, <math>\, U_{x,y}, V_{x,y}</math> הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.

=== הקשר לאלגברות ז'ורדן ===
כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה <math>\, xy = \frac{1}{2}x \circ y</math>; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי <math>\, U_x = 2L_x^2 - L_{x^2}</math> (כאשר <math>\,L_xy = xy</math>), ואז <math>\,\{xyz\} = 2(x(zy)+z(xy)-(xz)y)</math> (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים <math>\, U_xy = xyx</math>). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.

=== דוגמאות ===
אם A [[אלגברה אלטרנטיבית]] מעל k, ההגדרה <math>\, U_xy = xyx</math> הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב-<math>A^+</math>. תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא '''מיוחדת'''; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא '''יוצאת דופן'''.

== איברים, אידיאלים ומנות ==
איבר x הוא '''הפיך''' אם הפונקציה <math>\, U_x</math> המתאימה לו הפיכה (באלגברה <math>\, A^+</math> איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A). האיבר היחיד y המקיים <math>\, U_xy =x</math> הוא '''ההפכי''' של x, ומסמנים אותו ב-<math>x^{-1}</math>. אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא '''אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק'''. 

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם <math>\, U_IJ, U_J I \subseteq I</math>. אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה '''פשוטה''' אם אין לה אידיאלים, ו'''פשוטה לחלוטין''' אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית). 

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך. אז J עם איבר היחידה <math>\, p^{-1}</math> והפעולות <math>\, U'_x = U_x U_p</math>, גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, '''איזוטופית''' לאלגברה המקורית. (אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות). אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא '''חבורת המבנה''' של J. אוסף ההעתקות ההפיכות <math>\, U_x</math> יוצר תת-חבורה הנקראת '''חבורת המבנה הפנימית'''. 

[[קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית]]