הצגת המקור של הדף "קונטרה פוזיטיב"

ב[[לוגיקה]], עקרון ה'''קונטרה פוזיטיב''' (ב[[אנגלית]]: '''Contrapositive''') קובע שמצב שבו טענה <math>a</math> [[גרירה לוגית|גוררת לוגית]] [[מסקנה]] <math>b</math>, [[אם ורק אם|שקול]] [[טאוטולוגיה (לוגיקה)|טאוטולוגית]] למצב בו שלילת המסקנה <math>\neg b</math> גוררת את שלילת הטענה המקורית <math>\neg a</math>.{{הערה|{{Cite web|url=http://beisecker.faculty.unlv.edu//Courses/Phi-102/Contraposition.htm|title=The Law of Contraposition|website=beisecker.faculty.unlv.edu|accessdate=2019-11-26}}}}

בכתיב [[תחשיב הפסוקים|מתמטי]]: <math>a\to b\iff\neg b\to\neg a</math>.

הביטוי הימני הוא הקונטרה פוזיטיב של הביטוי השמאלי, ואחד מהם מתקיים [[אם ורק אם]] האחר מתקיים.{{הערה|{{Cite web|title=Definition of CONTRAPOSITIVE|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/contrapositive|accessdate=2019-11-26|website=www.merriam-webster.com|language=en}}}}
{{תוכן שמאל}}

==הסבר==
===דוגמה===
נתון ש־{{ציטוטון|אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל}}.

שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב על המשפט יוביל למסקנה שאם אני לא לובש מעיל, אז בהכרח לא יורד גשם – כי אילו היה יורד גשם, בהכרח הייתי לובש מעיל.

[[הצרנה]] של התהליך תהיה:
*<math>a</math> – {{ציטוטון|יורד גשם}}
*<math>b</math> – {{ציטוטון|לובש מעיל}}

היות שנתון <math>a\to b</math> ({{ציטוטון|אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל}}) אז מתקיים גם הקונטרה פוזיטיב של הנתון, <math>\neg b\to\neg a</math> ({{ציטוטון|אם אני '''לא''' לובש מעיל, אז '''לא''' יורד גשם}}).

===המחשה חזותית===
[[קובץ:Venn A subset B.svg|שמאל|ממוזער|147x147 פיקסלים|קבוצה A [[הכלה (יחס)|מוכלת]] ב־B, או במילים אחרות, כל האיברים ששייכים ל־A שייכים גם ל־B.]]
ב[[דיאגרמת ון]] שבתמונה, אם איבר <math>x</math> שייך ל[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>A</math>, הוא בהכרח גם שייך ל־<math>B</math>.

כשמסמנים <math>\begin{matrix}a=\text{“}x\in A\text{”}\\b=\text{“}x\in B\text{”}\end{matrix}</math>, הטענה הזו נכתבת <math>a\to b</math>. כך שעל פי עקרון הקונטרה פוזיטיב בהכרח <math>\neg b\to\neg a</math>.

במילים אחרות, אם <math>x</math> '''לא''' שייך ל־<math>B</math> אז הוא גם '''לא''' שייך ל־<math>A</math>. ואכן, על פי התמונה אם איבר נמצא מחוץ ל־<math>B</math> אז הוא בהכרח מחוץ ל־<math>A</math> – כי כל איבר בתוך <math>A</math> הוא גם בתוך <math>B</math>.

==הוכחה==
הוכחה לשקילות הטאוטולוגית בין שני ה[[פסוק (לוגיקה)|פסוקים]] באמצעות [[לוח אמת]] פשוט:{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof2/Contrapositive.pdf|הכותב=Richard Hammack|כותרת=Contrapositive Proof|אתר=[https://atoz.vcu.edu/ VIRGINIA COMMONWEALTH UNIVERSITY]|שפה=אנגלית}}}}
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ <math display=block>a\to b\iff\neg b\to\neg a</math>
! <math>\neg b\to\neg a</math>
! <math>\neg a</math>
! <math>\neg b</math>
! <math>a\to b</math>
!style="background:#20B2AA;"| <math>b</math>
!style="background:#20B2AA;"| <math>a</math>
|-
|style="background:#7CFC00;"| T
| F
| F
|style="background:#7CFC00;"| T
|style="background:#8FBC8F;"| T
|style="background:#8FBC8F;"| T
|-
|style="background:#FA8072;"| F
| F
| T
|style="background:#FA8072;"| F
|style="background:#8FBC8F;"| F
|style="background:#8FBC8F;"| T
|-
|style="background:#7CFC00;"| T
| T
| F
|style="background:#7CFC00;"| T
|style="background:#8FBC8F;"| T
|style="background:#8FBC8F;"| F
|-
|style="background:#7CFC00;"| T
| T
| T
|style="background:#7CFC00;"| T
|style="background:#8FBC8F;"| F
|style="background:#8FBC8F;"| F
|}

עמודת ה־<math>a\to b</math> שווה לעמודת ה־<math>\neg b\to\neg a</math> ב<span style=color:#4C7F4C;>כל צירוף ערכים אפשרי</span> של <math>a,b</math>, כלומר שהביטויים שקולים טאוטולוגית:
:<math>a\to b\equiv\neg b\to\neg a</math>
[[הלמוש|'''<math>\blacksquare</math>''']]

==שימושים==
=== מודוס טוֹלֶּנְס ===
{{הפניה לערך מורחב|מודוס טולנס}}
עקרון המודוס '''טולנס''' קובע שאם נתון <math>a\to b</math> ו־<math>\neg b</math>, אזי גם <math>\neg a</math>.{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Modus Tollens|אתר=mathworld.wolfram.com|שפה=en|תאריך_וידוא=2022-02-03}}}}

עיקרון זה מוכח על ידי שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב כטאוטולוגיית בסיס. המעבר ל[[כלל היסק|כלל ההיסק]] הבא מתבצע תוך שימוש ב[[מודוס פוננס|מודוס '''פוננס''']], שקובע שמרגע שקיימת גרירה <math>p\to q</math>, והרישא <math>p</math> אמת, אז גם הסיפא <math>q</math> אמת.
*נתון <math>a\to b</math>, ולכן על פי הקונטרה פוזיטיב מתקיים <math>\neg b\to\neg a</math>.
*היות שנתון <math>\neg b</math>, על פי עקרון המודוס פוננס והמסקנה הקודמת (<math>\neg b\to\neg a</math>), גם הסיפא <math>\neg a</math> מתקיימת.
*מכאן שבצירוף הנתונים <math>a\to b</math> ו־<math>\neg b</math> אכן ניתן להסיק את <math>\neg a</math>, כך שעקרון המודוס טולנס מתקיים.{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://www.csm.ornl.gov/~sheldon/ds/sec1.3.html|כותרת=Section 1.3 Review {{!}} Argument Forms|הכותב=[https://www.csm.ornl.gov/~sheldon/ Frederick T. Sheldon]|אתר=[https://www.csm.ornl.gov Oak Ridge National Laboratory], Computer Science and Mathematics Division|תאריך_וידוא=2022-02-03}}}}|

===תנאים הכרחיים===
{{הפניה לערך מורחב|תנאי הכרחי}}
עקרון המודוס טולנס הוא זה שמאפשר את קיומם של תנאים הכרחיים – טענות שאם הן לא מתקיימות, ניתן להסיק בוודאות שטענה אחרת גם היא לא מתקיימת.

<math>b</math> הוא תנאי הכרחי לקיומה של טענה <math>a</math> אם <math>a\to b</math>. במצב שבו התנאי אינו מתקיים, כלומר <math>\neg b</math>, אזי על פי הקונטרה פוזיטיב ועקרון המודוס טולנס שנובע ממנו, בהכרח הטענה <math>a</math> אינה נכונה, ומתקיים <math>\neg a</math>. במילים אחרות – התנאי הכרחי, מפני שאם הוא לא מתקיים, אזי גם הטענה בהכרח לא מתקיימת.{{הערה|{{צ-מאמר|שם=Necessary and Sufficient Conditions|קישור=https://press.rebus.community/intro-to-phil-logic/chapter/chapter-5-necessary-and-sufficient-conditions/|שנת הוצאה=2020-11-18|מחבר=Michael Shaffer}}}}

למשל, נתון ש־”אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל“, ובנוסף ש־”אני '''לא''' לובש מעיל“. לכן, בהכרח גם '''לא''' יורד גשם. יש הכרח שתתקיים הטענה ”אני לובש מעיל“, מפני שאילולא כן, בוודאות ”'''לא''' יורד גשם“. הגרירה לא בהכרח נכונה בכיוון ההפוך, מכיוון שיכולה להתקיים הטענה ”אני לובש מעיל“ מבלי שירד גשם.

==ראו גם==
*[[גרירה לוגית]]
*[[הוכחה]]

== לקריאה נוספת ==
<div dir="ltr">
*{{קישור כללי|כתובת=https://www.chilimath.com/lessons/introduction-to-number-theory/converse-inverse-and-contrapositive-of-conditional-statement/|הכותב=|כותרת=Converse, Inverse, and Contrapositive of Conditional Statement - ChiliMath|אתר=ChiliMath|תאריך=4 בפברואר 2020}}
*{{קישור כללי|כתובת=https://www.csm.ornl.gov/~sheldon/ds/sec1.2.html|כותרת=Review 1.2 {{!}} Conditional Statement Forms|הכותב=[https://www.csm.ornl.gov/~sheldon/ Frederick T. Sheldon]|אתר=[https://www.csm.ornl.gov Oak Ridge National Laboratory], Computer Science and Mathematics Division|תאריך_וידוא=2022-02-03}}
*Audun Jøsang, 2016, Subjective Logic; A formalism for Reasoning Under Uncertainty Springer, Cham, {{ISBN|978-3-319-42337-1}}
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]